Sommer une série avec Excel

Savez-vous combien de lignes peut contenir un tableau Excel ?

Jusqu’à Excel 2003 un tableau pouvait contenir jusqu’à 65 536 lignes et 256 colonnes, mais depuis sa version 2007, Excel peut contenir jusqu’à 1 048 576 lignes et 16 384 colonnes.

J’ai utilisé cette puissance de calcul pour vérifier la convergence de la fonction ζ (zêta) de Riemann pour l’argument 2 : ζ(2).

Je vous rappelle que la fonction de Riemann correspond à la série de Fourier :

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty{\frac1{n^s}} = 1 + \frac1{2^s} + \frac1{3^s} + \frac1{4^s} + \cdots$

En 1735, Leonhard Euler a résolu le “problème de Bâle” qui consistait à calculer la valeur littérale de la somme de la série convergente ζ(2) :

$\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}644\;934$

Cette série a la particularité de converger très lentement, je me suis amusé, grâce aux possibilités d’Excel, de calculer les sommes partielles de n = 1 à n = 200 000 de la fonction zêta pour différentes valeurs de l’argument s.

L’argument s figure en A1, en colonne B les nombres de n = 1 à n = 200 000, en colonne C : n^s et en colonne D : 1/n^s.

Enfin en colonne F, les sommes partielles de 1 à 10, 100, 1000, 100 000 et 200 000. J’aurais pu aller jusqu’à 1 000 000, mais comme je suis obligé de recopier la formule vers le bas en faisant glisser la souris, ça m’aurait pris trop de temps et ça aurait exagérément gonflé la taille du fichier Excel.

Pour la valeur s = 2, on voit que la série converge assez lentement, et pour diviser par 10 l’écart entre la valeur partielle et la valeur réelle, il faut multiplier par 10 le nombre d’itérations.